cardinalità
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Definizione di cardinalità

- sia A un insieme finito, chiamiamo cardinalità dell' insieme A (o potenza o ordine) il numero dei suoi elementi
- per indicare la cardinalità si -->> dei simboli
- la cardinalità (o potenza o ordine) è un numero naturale, ottenuto aggiungendo di volta in volta un' unità partendo da 0

- insiemi equipotenti se A e B sono due insiemi -->> saranno equipotenti (equipollenti) se hanno la stessa cardinalità
(potenza o ordine)

- insiemi uguali se E e F sono due insiemi finiti o infiniti, saranno -->> se hanno gli stessi elementi
- due insiemi uguali sono sempre equipotenti
- due insiemi equipotenti non sono necessariamente uguali

- sottoinsieme siano A ed E due insiemi, -->> che A ⊆ E, A è un sottoinsieme di E, se ogni elemento di A appartiene ad E
- la relazione inversa E ⊇ A si legge E è sovrainsieme di A

- sottoinsieme proprio diciamo che A ⊂ E, che A è un sottoinsieme proprio di E, se si -->> le condizioni: - sottoinsieme improprio diciamo che A ⊆ E, A è un sottoinsieme improprio di E, se si verificano le -->>:

Definizione di insieme vuoto

un insieme vuoto è un insieme privo di elementi
- Per indicare l'insieme vuoto possiamo usare il -->> dell'insieme vuoto, che è uno "zero spaccato"
- Se volessimo descriverlo per elencazione Ø := {} dove := indica 'uguale per definizione'
- L'insieme vuoto è un sottoinsieme improprio di ogni insieme

Cardinalità dell'insieme infinito

- Infinito non è un numero, possiamo allora dire che un insieme infinito A, ha cardinalità infinita e usare la scrittura simbolica:
card(A) = ∞ dove ∞ è per l'appunto il simbolo di infinito
- Ad esempio, i principali insiemi numerici hanno tutti cardinalità -->>:
card(ℕ) = ∞; card(ℤ) = ∞; card(ℚ) = ∞; card(ℝ) = ∞;
- Nel caso di un insieme infinito la cardinalità è una cosa, potenza e ordine un'altra (quest'ultimi due termini sono sempre sinonimi)

Insieme vuoto e unione

- L'unione tra l'insieme vuoto e un -->> insieme A è uguale all'insieme A U Ø = A = Ø U A e anche Ø U Ø = Ø

Insieme vuoto e intersezione

- L' intersezione dell'insieme vuoto con un qualsiasi insieme A è -->> all'insieme vuoto A ∩ Ø = Ø = Ø ∩ A e anche Ø ∩ Ø = Ø

Insieme vuoto e insiemi disgiunti

- Dati due insiemi qualsiasi A e B, diciamo per definizione che essi sono insiemi disgiunti se la loro -->> è uguale all'insieme vuoto A,B disgiunti ⇔ A ∩ B = Ø

Insieme vuoto e differenza tra insiemi

- La differenza tra un qualsiasi insieme A e l'insieme -->> è uguale all'insieme A, A−Ø = A
- Al contrario, la differenza tra l'insieme vuoto e un qualsiasi insieme A è uguale all'insieme vuoto Ø−A = Ø

Insieme vuoto e differenza simmetrica

- La -->> simmetrica tra un qualsiasi insieme A e l'insieme vuoto è uguale all'insieme A, A Δ Ø = A

Insieme vuoto e insieme complementare

- Il -->> dell'insieme vuoto è l'insieme universo U, Ø ^C = U
- Viceversa il complementare dell'insieme universo è dato dall'insieme vuoto U^C = Ø
cardinalità: #A card(A) |A| B = { x | x è un numero dispari tra 12 e 22} elenchiamo: B = { 13, 15, 17, 19, 21 } #A = 5 card(A) = 5 |A| = 5
A = {lun,mar,mer,gio,ven,sab,dom} B = {do,re,mi,fa,sol,la,si} A giorni della settimana lun mar mer gio ven sab dom B note musicali do re mi fa sol la si card(A) = 7 = card(B)
E = {s,i,l,v,a,n} F = {s,l,a,v,i,n} E lettere nella parola silvana s i l v a n F lettere nella parola slavina s l a v i n E = F
E A A è sottoinsieme di E ⇔ ∀ x ∈ A : x ∈ E A è sottoinsieme di E solo se ogni x di A appartiene anche ad E
E A A ⊂ E si legge A è sottoinsieme proprio di E E ⊃ A si legge E è sovrainsieme proprio di A x1 x2 x3 x4
E A A ⊆ E ovvero A è sottoinsieme improprio di E E ⊇ A ovvero E è sovrainsieme improprio di A x1 x2 x3
simbolo Ø := {} esempi di insiemi vuoti A = { x | x è un triangolo con 5 lati } = Ø B = { x ∈ ℕD | x è divisibile per 2 } = Ø ℕD numeri naturali dispari C = { x ∈ ℕ | x + 1 = 0 } = Ø
card(ℕ) = ∞ = { ....37,38,39,40,41.....} ℕ insieme dei numeri naturali, interi non negativi card(ℤ) = ∞ = { ....-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6.....} ℤ insieme dei numeri relativi, interi con segno + o - card(ℚ) = ∞ = { ....-5/2,-3/2,3/2,5/2,5/2,5/4.....} ℚ insieme dei numeri razionali relativi, frazioni con segno + o - card(ℝ) = ∞ = { ....-2/3,√3,1.3ˉ,8/π.....} ℝ insieme dei numeri reali, rappresentazione decimale
Ø U A 6 3 9 = A UNIONE CON INSIEME VUOTO Ø U Ø = Ø
Ø rosso giallo C = Ø Ø Ø = Ø C insieme dei colori caldi C = { rosso,giallo }
P D = Ø P insieme dei numeri naturali pari D insieme dei numeri naturali dispari
B = A 1 2 3 5 4 6 A - A = { x ∈ ℕ | x ≤ 6 } = { 1,2,3,4,5,6 } B = Ø - B 1 2 3 5 4 6 A = Ø
A = B = { 1,2,3 } - 1 2 3 B 1 2 3 B = Ø 1 2 3 B = B = { 1,2,3 } A A - Δ
A^C A E^C E E insieme universo, note musicali A ∈ E, note che iniziano con la 'k' A^C = E E^C = A = Ø si sol mi re do fa la