differenza
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Definizione di differenza tra insiemi

La differenza tra due insiemi A,B ⊆ E è per definizione l'operazione che sottrae agli elementi del primo insieme A gli elementi del secondo insieme B
- Se due insiemi non hanno elementi in comune si dicono disgiunti
- Il simbolo della -->> insiemistica è il segno meno -, o in alternativa la barra discendente \, così che l'insieme differenza tra A e B si indica in modo equivalente come A−B o A \ B
- In simboli: A−B := { x ∈ E | x ∈ A ∧ x ∉ B}
- dove ':=' sta per uguale per definizione e '∧' per 'e' (l'una e l' altra proprietà)
- Se A e B sono insiemi disgiunti A - B = A così come B - A = B

Cos'è la differenza simmetrica

Siano A,B ⊆ E, chiamiamo differenza simmetrica tra i due insiemi l'insieme dato dall'unione tra:
- la differenza tra A,B → A−B
- la differenza tra B,A → B−A
- il simbolo della differenza -->> è la lettera greca maiuscola delta, dunque la indicheremo con A Δ B
- in accordo con la definizione data a parole la differenza simmetrica è l'unione tra i due insiemi differenza (A−B) e (B−A)
- dunque A Δ B: = (A−B) U (B−A)
- Ricordando come sono definite le operazioni di unione e di differenza insiemistica, proviamo a esprimere la differenza simmetrica per caratteristica e per mezzo di simboli matematici: A Δ B: = {x ∈ E | (x ∈ A ∧ x ∉ B) (A−B) ∨ (U) (x∈ B ∧ x ∉ A) (B−A)}
- dove ∧ , ∨ indicano rispettivamente i connettivi logici "e" (l'uno e l'altro) e la "o" inclusiva (l'uno o anche l'altro)





Differenza tra insiemi e insieme vuoto

- La differenza tra un insieme e l'insieme -->> è uguale all'insieme stesso; viceversa, la differenza tra l'insieme vuoto e un qualsiasi altro insieme è uguale all'insieme vuoto, A−Ø = A ; Ø−A = Ø

Differenza tra insieme e un suo sovrainsieme

- La differenza tra un insieme e un -->> sovrainsieme è uguale all'insieme vuoto, dati A,B ⊆ E con A ⊆ B, risulta che A−B = Ø

Differenza tra insiemi con insieme universo

- La differenza tra un insieme e un suo qualsiasi insieme universo è uguale all'insieme vuoto, dato A ⊆ E, risulta che A−E = Ø
- La differenza tra un insieme universo E e un suo sottoinsieme A ⊆ E è il -->> del sottoinsieme: E−A = A^C

Differenza tra un insieme e se stesso

- La differenza tra un qualsiasi insieme e se -->> è uguale all'insieme vuoto, per qualsiasi insieme A ⊆ E risulta che A−A = Ø

Differenza tra insiemi disgiunti

- La differenza tra due insiemi disgiunti è uguale al -->> insieme della differenza
- Se due insiemi A,B ⊆ E hanno intersezione vuota, e dunque A ∩ B = Ø, allora risulta che A−B = A ; B−A = B

Non commutatività della differenza tra insiemi

- La differenza non è un'operazione commutativa, l'ordine con cui compaiono gli insiemi è rilevante

Insieme differenza come sottoinsieme del primo insieme

- La differenza tra due insiemi è un -->> del primo insieme, dati A,B ⊆ E, risulta che A−B ⊆ A ; B−A ⊆ B

Differenza tra insiemi e complementare

- La differenza tra due insiemi può -->> definita come intersezione tra il primo insieme e il complementare del secondo insieme
- Dati A,B ⊆ E, risulta che A−B = A ∩ B^C ; B−A = B ∩ A^C
1 2 3 5 4 6 A = Ø - 1 2 3 B 1 2 3 B = { 4,5,6 } 1 2 3 5 4 6 A - 1 2 3 B = { 4,5,6 } 1 2 3 5 4 6 A Δ
1 2 3 B 1 2 3 5 4 6 A - A = { x ∈ ℕ | x ≤ 6 } = { 1,2,3,4,5,6 } B = { x ∈ ℕ | x ≤ 3 } = { 1,2,3 } C = A - B comprende tutti gli elementi di A che non sono anche di B C = A - B
B = A 1 2 3 5 4 6 A - A = { x ∈ ℕ | x ≤ 6 } = { 1,2,3,4,5,6 } B = Ø - B 1 2 3 5 4 6 A = Ø
A = { x ∈ ℕ | x ∈ B | x < 2 } = { 1,2 } B = { x ∈ ℕ | x < 5 } = { 1,2,3,4 } 1 2 3 4 B = Ø A 1 2 -
E = { x ∈ ℕ | x < 5 } = { 1,2,3,4 } A = { x ∈ ℕ | x ∈ E | x < 3 } = { 1,2 } 1 2 A = A^C = { 3,4 } E 1 2 3 4 -
A = { x ∈ ℕ | x < 3 } = { 1,2 } 1 2 A = Ø A 1 2 -
A = { x ∈ ℕ | x < 3 } = { 1,2 } B = { x ∈ ℕ | x > 2 | x < 5 } = { 3,4 } 3 4 B = A A 1 2 - A 1 2 = B 3 4 B -
A = { x ∈ ℕ | x < 4 } = { 1,2,3 } B = { x ∈ ℕ | x > 2 | x < 5 } = { 3,4 } 3 4 B ∈ A A 1 2 3 - A 1 2 3 ∈ B 3 4 B -
E = { x ∈ ℕ | x < 6 } = { 1,2,3,4,5 } A = { x ∈ ℕ | x ∈ E | x < 3 } = { 1,2 } B = { x ∈ ℕ | x ∈ E | x > 2 | x < 5 } = { 3,4 } 1 2 5 B^C A 1 2 B 3 4 1 2 A -