- sia A un insieme finito, chiamiamo cardinalità dell' insieme A (o potenza o ordine) il numero dei suoi elementi
- per indicare la cardinalità si -->> dei simboli
- la cardinalità (o potenza o ordine) è un numero naturale, ottenuto aggiungendo di volta in volta un' unità partendo da 0
- insiemi equipotenti se A e B sono due insiemi -->> saranno equipotenti (equipollenti) se hanno la stessa cardinalità (potenza o ordine)
- insiemi uguali se E e F sono due insiemi finiti o infiniti, saranno -->> se hanno gli stessi elementi
- due insiemi uguali sono sempre equipotenti
- due insiemi equipotenti non sono necessariamente uguali
- sottoinsieme siano A ed E due insiemi, -->> che A ⊆ E, A è un sottoinsieme di E, se ogni elemento di A appartiene ad E
- la relazione inversa E ⊇ A si legge E è sovrainsieme di A
- sottoinsieme proprio diciamo che A ⊂ E, che A è un sottoinsieme proprio di E, se si -->> le condizioni:
A contiene almeno un elemento
tutti gli elementi di A appartengono a E
esiste almeno un elemento di E che non appartiene ad A
- sottoinsieme improprio diciamo che A ⊆ E, A è un sottoinsieme improprio di E, se si verificano le -->>:
A è l' insieme vuoto
ogni elemento di E appartiene anche ad A
Definizione di insieme vuoto
un insieme vuoto è un insieme privo di elementi
- Per indicare l'insieme vuoto possiamo usare il -->> dell'insieme vuoto, che è uno "zero spaccato"
- Se volessimo descriverlo per elencazione Ø := {} dove := indica 'uguale per definizione'
- L'insieme vuoto è un sottoinsieme improprio di ogni insieme
Cardinalità dell'insieme infinito
- Infinito non è un numero, possiamo allora dire che un insieme infinito A, ha cardinalità infinita e usare la scrittura simbolica:
card(A) = ∞ dove ∞ è per l'appunto il simbolo di infinito
- Ad esempio, i principali insiemi numerici hanno tutti cardinalità -->>:
card(ℕ) = ∞; card(ℤ) = ∞; card(ℚ) = ∞; card(ℝ) = ∞;
- Nel caso di un insieme infinito la cardinalità è una cosa, potenza e ordine un'altra (quest'ultimi due termini sono sempre sinonimi)
Insieme vuoto e unione
- L'unione tra l'insieme vuoto e un -->> insieme A è uguale all'insieme A U Ø = A = Ø U A e anche Ø U Ø = Ø
Insieme vuoto e intersezione
- L' intersezione dell'insieme vuoto con un qualsiasi insieme A è -->> all'insieme vuoto A ∩ Ø = Ø = Ø ∩ A e anche Ø ∩ Ø = Ø
Insieme vuoto e insiemi disgiunti
- Dati due insiemi qualsiasi A e B, diciamo per definizione che essi sono insiemi disgiunti se la loro -->> è uguale all'insieme vuoto
A,B disgiunti ⇔ A ∩ B = Ø
Insieme vuoto e differenza tra insiemi
- La differenza tra un qualsiasi insieme A e l'insieme -->> è uguale all'insieme A, A−Ø = A
- Al contrario, la differenza tra l'insieme vuoto e un qualsiasi insieme A è uguale all'insieme vuoto Ø−A = Ø
Insieme vuoto e differenza simmetrica
- La -->> simmetrica tra un qualsiasi insieme A e l'insieme vuoto è uguale all'insieme A, A Δ Ø = A
Insieme vuoto e insieme complementare
- Il -->> dell'insieme vuoto è l'insieme universo U, Ø ^C = U
- Viceversa il complementare dell'insieme universo è dato dall'insieme vuoto U^C = Ø