Definizione di unione tra due insiemi
l'unione di due insiemi A,B contenuti in un insieme universo E , A,B ⊆ E, è l'insieme contenente tutti gli elementi
dell'insieme A e tutti gli elementi dell'insieme B
- simbolo di unione è U dunque
-->> l'unione tra gli insiemi con la notazione A U B
- rappresentazione per caratteristica A U B := { x ∈ E | x ∈ A ∨ x ∈ B }
- dove ':=' sta per uguale per definizione e '∨' per oppure
- il termine 'unione' può essere riferito sia all' operazione insiemistica che all' insieme risultante
- la definizione può essere estesa facilmente a tre o più insiemi
Esempio: unione di insiemi di numeri pari e multipli di 3 fino a 10, ℕ insieme dei numeri naturali, P numeri naturali pari, T numeri naturali
multipli di 3, P e T sottoinsiemi di ℕ
A={ x ∈ ℕ | x ∈ P | x ≤ 10 } = {2,4,6,8,10}
B={ x ∈ ℕ | x ∈ T | x ≤ 10 } = {3,6,9}
A∪B={2,3,4,6,8,9,10}
L'unione comprende tutti gli elementi presenti in A o in B o in entrambi
Unione e insieme vuoto
- L'unione di un qualsiasi insieme con l'insieme vuoto
-->> con l'insieme stesso.
Unione con un insieme universo
- L'unione di un insieme con un suo qualsiasi insieme universo coincide con l'insieme universo,
-->> A ⊆ E, allora A U E = E = E U A
Unione di un insieme con se stesso
- L'unione di un qualsiasi insieme con se stesso è l'insieme
-->>, per qualsiasi insieme A ⊆ E risulta che A U A = A
Proprietà commutativa dell'unione
- L'unione tra insiemi è un'operazione insiemistica
-->>, ossia non ha importanza l'ordine con cui si scrivono gli elementi dell'unione,
dati A,B ⊆ E risulta che A U B = B U A
Insieme unione e sottoinsiemi dell'unione
- L'unione di due insiemi qualsiasi contiene entrambi gli insiemi, dati A,B ⊆ E, abbiamo che A ⊆ A U B ; B ⊆ A U B
Proprietà associativa dell'unione
- L'unione è un'operazione
-->>, dati A,B,C ⊆ E, vale la seguente proprietà A U (B U C) = A U B U C = (A U B) U C
Proprietà distributiva dell'unione rispetto all'intersezione
L'unione è un'operazione insiemistica
-->> rispetto all'intersezione, nel senso che se prendiamo tre insiemi A,B,C ⊆ E, allora risulta che
A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C)
Unione e complementare
- Il complementare dell'unione di due insiemi coincide con l'intersezione dei due complementari
- Tale proprietà, nota anche come seconda
-->> di De Morgan, stabilisce che dati A,B ⊆ E risulta che (A U B)^(C) = A^C ∩ B^C