intersezione
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Definizione di intersezione di insiemi


consideriamo due insiemi contenuti in un insieme universo , A,B ⊆ E, l'intersezione è l'insieme degli elementi comuni ad entrambi
- il simbolo di intersezione è ∩, quindi per -->> l'intersezione scriviamo A ∩ B
- in simboli: A ∩ B: = {x∈ E | x∈ A ∧ x∈ B}
- dove ':=' sta per uguale per definizione e '∧' per 'e' (l'una e l' altra proprietà)
- la definizione può essere estesa facilmente a tre o più insiemi
Esempio: Intersezione di insiemi di colori primari e colori caldi
    A={rosso, blu, giallo}
    B={rosso, arancione, giallo}
    A∩B={rosso, giallo}
    L'intersezione comprende solo gli elementi presenti sia in A che in B












Intersezione e insieme vuoto

- L'intersezione di un qualsiasi insieme con l'insieme vuoto è uguale all'insieme vuoto, A ∩ Ø = Ø = Ø ∩ A, Ø è -->> di elementi e non può avere alcun elemento in comune con A

Intersezione tra insieme e sottoinsieme

- L'intersezione tra due insiemi -->> coincide con l'insieme che è contenuto nell'altro

Intersezione di un insieme con se stesso

- L'intersezione di un qualsiasi insieme con -->> stesso è l'insieme stesso, per qualsiasi insieme A ⊆ E risulta che A ∩ A = A

Insiemi con intersezione vuota: insiemi disgiunti

- Se due insiemi A,B ⊆ E hanno intersezione -->> A ∩ B = Ø = B ∩ A allora diciamo che A,B sono insiemi disgiunti

Proprietà commutativa dell'intersezione

- L'ordine con cui compaiono gli insiemi da intersecare non è -->>: dati A,B ⊆ E risulta infatti A ∩ B = B ∩ A

Insieme intersezione come sottoinsieme degli insiemi intersecati

- L'intersezione di due insiemi qualsiasi è un sottoinsieme di entrambi gli insiemi comunque si considerano A,B ⊆ E, abbiamo che A ∩ B ⊆ A ; A ∩ B ⊆ B








Proprietà associativa dell'intersezione

- Dati A,B,C ⊆ E, possiamo equivalentemente -->> A ∩ (B ∩ C) = A ∩ B ∩ C = (A ∩ B) ∩ C

Proprietà distributiva dell'intersezione rispetto all'unione

- L'intersezione è un'operazione distributiva -->> all'unione, nel senso che se prendiamo tre insiemi A,B,C ⊆ E, allora vale la seguente proprietà A ∩ (B U C) = (A ∩ B) U (A ∩ C)

Intersezione e complementare

- Il complementare dell'intersezione di due insiemi -->> con l'unione dei due complementari.
- Tale proprietà, nota con il nome di prima legge di De Morgan, stabilisce che dati A,B ⊆ E risulta che (A ∩ B)^(C) = A^C U B^C

Proprietà distributiva dell'intersezione rispetto alla differenza simmetrica

- Se consideriamo tre insiemi A,B,C ⊆ E, allora -->> la seguente proprietà A ∩ (B Δ C) = (A ∩ B) Δ (A ∩ C)





blu rosso giallo P rosso giallo C P insieme dei colori primari C insieme dei colori caldi P = { rosso,blu,giallo } C = { rosso,giallo } P ∩ C comprende solo gli elementi presenti sia in P che in C A = P ∩ C
A 1 2 3 B = Ø = B ∩ A A = { x ∈ ℕ | x < 0 } = Ø B = { x ∈ ℕ | x ≤ 3 } = { 1,2,3 } A ∩ B comprende tutti gli elementi in comune tra i due insiemi
A = { x ∈ ℕ | x < 5 } = { 1,2,3,4 } B = { x ∈ ℕ | B ∈ A | x < 3 } = { 1,2 } 1 2 B = B = B ∩ A A 1 2 3 4
rosso giallo C rosso giallo C C insieme dei colori caldi C = { rosso,giallo } C ∩ C = C C ∩ C
blu rosso giallo P verde viola arancio S P insieme dei colori primari S insieme dei colori secondari P = { rosso,blu,giallo } S = { verde,viola,arancio } P ∩ S comprende solo gli elementi presenti sia in P che in S P ∩ S = Ø P e S insiemi disgiunti
1 2 3 B = { 1,2 } 1 2 A A = { x ∈ ℕ | x < 3 } = { 1,2 } B = { x ∈ ℕ | x ≥ 3 } = { 1,2,3 } B 1 2 3 A = { 1,2 } 1 2 A ∩ B ⊆ A A ∩ B ⊆ B
A = { x ∈ ℕ | x < 3 } = { 1,2 } B = { x ∈ ℕ | x < 4 } = { 1,2,3 } C = { x ∈ ℕ | x < 5 } = { 1,2,3,4 } A 1 2 1 2 3 B ∩ C 1 2 3 4 A ∩ (B ∩ C) = A ∩ B ∩ C = (A ∩ B) ∩ C
A = { x ∈ ℕ | x < 3 } = { 1,2 } B = { x ∈ ℕ | x < 4 } = { 1,2,3 } C = { x ∈ ℕ | x < 5 } = { 1,2,3,4 } A 1 2 1 2 3 B U C 1 2 3 4 1 2 1 2 3 B ∩ C A ∩ B U A ∩ (B U C) = (A ∩ B) U (A ∩ C)
E = { x ∈ ℕ | x < 5 } = { 1,2,3,4 } A = { x ∈ ℕ | x ∈ E | x < 3 } = { 1,2 } B = { x ∈ ℕ | x ∈ E | x < 4 } = { 1,2,3 } 1 2 1 2 3 4 A ∩ B (A ∩ B)^C 3 4 4 A^C U B^C
A = { x ∈ ℕ | x < 5 } = { 1,2,3,4 } B = { x ∈ ℕ | x < 4 } = { 1,2,3 } C = { x ∈ ℕ | x < 3 } = { 1,2 } A 1 2 3 4 1 2 B Δ C 1 2 3 1 2 A ∩ C 1 2 3 A ∩ B A ∩ (B Δ C) (A ∩ B) Δ (A ∩ C)