Dato un insieme A ⊆ E si definisce complementare di A, l'insieme degli elementi di E che non appartengono ad A
- Il simbolo di insieme complementare è una C sotto forma di apice, quindi per denotare il complementare dell'insieme A scriveremo
A^C
- Proviamo a tradurre la definizione in simboli matematici: A^C := { x ∈ E | x ∉ A }
- È importante precisare che, poiché l'insieme -->> di A ⊆ E è l'insieme di tutti gli elementi dell'insieme universo E che non appartengono ad A,
l'operazione di complementazione dipende dall'insieme universo scelto
- Ciò significa che un insieme A può avere infiniti insiemi complementari perché può essere preso in infiniti insiemi universo.
Insieme complementare dell'insieme vuoto
- Il complementare dell'insieme -->> è uguale all'insieme universo E, Ø^C = E
Insieme complementare dell'insieme universo
- Il complementare di un insieme universo E è uguale all'insieme vuoto: E^C = Ø
Complementare del complementare di un insieme
- Dato un insieme A ⊆ E, il complementare -->> complementare dell'insieme A è uguale ad A, (A^C)^C = A
Complementare e differenza tra insiemi
- L'operazione di complementazione può essere espressa come una particolare differenza tra insiemi.
- Dato un insieme A ⊆ E, l'insieme complementare di A -->> alla differenza tra l'insieme universo E e l'insieme A, A^C = E−A
Complementazione e intersezione
- Il complementare dell'intersezione di due insiemi è uguale all'unione dei due complementari.
- Tale proprietà, nota come prima legge di De Morgan, -->> che dati A,B ⊆ E risulta che (A ∩ B)^(C) = A^C U B^C
Complementazione e unione
- Il complementare dell'unione di due insiemi -->> con l'intersezione dei due complementari
- Tale proprietà, nota come seconda legge di De Morgan, stabilisce che dati A,B ⊆ E risulta che (A U B)^(C) = A^C ∩ B^C