Definizione di insieme universo
Chiamiamo insieme universo di un insieme A , o insieme ambiente, qualsiasi insieme che contiene A come
sottoinsieme proprio o improprio
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Il simbolo di appartenenza di un insieme ad un contesto è: ∈
- Consideriamo il seguente insieme definito per caratteristica: A = { x | 2 ≤ x ≤ 5 }
- Cioè l'insieme dei numeri compresi tra 2 e 5, estremi inclusi (attenzione al simbolo minore-uguale).
- Supponiamo di volerlo rappresentare per elencazione: A = { 2,3,4,5 }
- Ma potremmo scrivere anche: A = { 2, 10/3, 14/3 ...}, anche 10/3 è un numero tra 2 e 5!
- Il problema è che manca un contesto, nel definire l'insieme a parole non abbiamo specificato qual è l'insieme numerico di riferimento
- Un insieme universo serve proprio a questo: definire un
-->> in cui operare in modo da evitare qualsiasi tipo di ambiguità
- Tornando al nostro esempio, se consideriamo come insieme universo l'insieme dei numeri naturali per caratteristica:
A = { x | x ∈ ℕ | 2 ≤ x ≤ 5 }
- Abbreviando: A = { x ∈ ℕ | 2 ≤ x ≤ 5 }
- Un insieme può riferirsi a più insiemi universo
- Quando si lavora con gli insiemi si definisce prima un insieme universo e soltanto poi si lavora al suo interno
Insieme universo e unione
- L'unione tra un insieme A ⊆ E e un
-->> qualsiasi insieme universo E è uguale all'insieme universo E
A U E = E = E U A
Insieme universo e intersezione
- L'intersezione
-->> un insieme A ⊆ U e un suo qualsiasi insieme universo U è uguale all'insieme A, A ∩ U = A = U ∩ A
Insieme universo e differenza tra insiemi
- La differenza tra un insieme A ⊆ U e un suo qualsiasi insieme
-->> U è uguale all'insieme vuoto A−U = Ø
- Al contrario, la differenza tra un qualsiasi insieme universo U di un insieme A e l'insieme A è uguale al complementare dell'insieme A in U, U−A = A^C
Insieme universo e differenza simmetrica
- La differenza
-->> tra un insieme A ⊆ U e un suo qualsiasi insieme universo U è uguale al complementare di A in U
A Δ U = A^C
Insieme universo e insieme complementare
- Il complementare di un insieme A si
-->> per definizione all'insieme universo in cui si considera A, ed è definito come l'insieme degli
elementi di U che non appartengono ad A, A ⊆ U, A^C = x ∈ U : x ∉ A
- In particolare il complementare dell'insieme universo è dato dall'insieme vuoto U^C = Ø e il complementare dell'insieme vuoto è uguale
all'insieme universo Ø ^C = U