Definizione di differenza tra insiemi
La differenza tra due insiemi A,B ⊆ E è per definizione l'operazione che sottrae agli elementi del primo insieme A gli elementi del secondo insieme B
- Se due insiemi non hanno elementi in comune si dicono
disgiunti
- Il simbolo della
-->> insiemistica è il segno meno -, o in alternativa la barra discendente \, così che l'insieme differenza tra
A e B si indica in modo equivalente come A−B o A \ B
- In simboli: A−B := { x ∈ E | x ∈ A ∧ x ∉ B}
- dove ':=' sta per uguale per definizione e '∧' per 'e' (l'una e l' altra proprietà)
- Se A e B sono insiemi disgiunti A - B = A così come B - A = B
Cos'è la differenza simmetrica
Siano A,B ⊆ E, chiamiamo differenza simmetrica tra i due insiemi l'insieme dato dall'unione tra:
- la differenza tra A,B → A−B
- la differenza tra B,A → B−A
- il simbolo della differenza
-->> è la lettera greca maiuscola delta, dunque la indicheremo con A Δ B
- in accordo con la definizione data a parole la differenza simmetrica è l'unione tra i due insiemi differenza (A−B) e (B−A)
- dunque A Δ B: = (A−B) U (B−A)
- Ricordando come sono definite le operazioni di unione e di differenza insiemistica, proviamo a esprimere la differenza simmetrica per caratteristica
e per mezzo di simboli matematici: A Δ B: = {x ∈ E | (x ∈ A ∧ x ∉ B) (A−B) ∨ (U) (x∈ B ∧ x ∉ A) (B−A)}
- dove ∧ , ∨ indicano rispettivamente i connettivi logici "e" (l'uno e l'altro) e la "o" inclusiva (l'uno o anche l'altro)
Differenza tra insiemi e insieme vuoto
- La differenza tra un insieme e l'insieme
-->> è uguale all'insieme stesso; viceversa, la differenza tra l'insieme vuoto e un qualsiasi altro insieme è
uguale all'insieme vuoto, A−Ø = A ; Ø−A = Ø
Differenza tra insieme e un suo sovrainsieme
- La differenza tra un insieme e un
-->> sovrainsieme è uguale all'insieme vuoto, dati A,B ⊆ E con A ⊆ B, risulta che A−B = Ø
Differenza tra insiemi con insieme universo
- La differenza tra un insieme e un suo qualsiasi insieme universo è uguale all'insieme vuoto, dato A ⊆ E, risulta che A−E = Ø
- La differenza tra un insieme universo E e un suo sottoinsieme A ⊆ E è il
-->> del sottoinsieme: E−A = A^C
Differenza tra un insieme e se stesso
- La differenza tra un qualsiasi insieme e se
-->> è uguale all'insieme vuoto, per qualsiasi insieme A ⊆ E risulta che A−A = Ø
Differenza tra insiemi disgiunti
- La differenza tra due insiemi disgiunti è uguale al
-->> insieme della differenza
- Se due insiemi A,B ⊆ E hanno intersezione vuota, e dunque A ∩ B = Ø, allora risulta che A−B = A ; B−A = B
Non commutatività della differenza tra insiemi
- La differenza non è un'operazione commutativa, l'ordine con cui compaiono gli insiemi è rilevante
Insieme differenza come sottoinsieme del primo insieme
- La differenza tra due insiemi è un
-->> del primo insieme, dati A,B ⊆ E, risulta che A−B ⊆ A ; B−A ⊆ B
Differenza tra insiemi e complementare
- La differenza tra due insiemi può
-->> definita come intersezione tra il primo insieme e il complementare del secondo insieme
- Dati A,B ⊆ E, risulta che A−B = A ∩ B^C ; B−A = B ∩ A^C