unione
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Definizione di unione tra due insiemi

l'unione di due insiemi A,B contenuti in un insieme universo E , A,B ⊆ E, è l'insieme contenente tutti gli elementi dell'insieme A e tutti gli elementi dell'insieme B
- simbolo di unione è U dunque -->> l'unione tra gli insiemi con la notazione A U B
- rappresentazione per caratteristica A U B := { x ∈ E | x ∈ A ∨ x ∈ B }
- dove ':=' sta per uguale per definizione e '∨' per oppure
- il termine 'unione' può essere riferito sia all' operazione insiemistica che all' insieme risultante
- la definizione può essere estesa facilmente a tre o più insiemi
Esempio: unione di insiemi di numeri pari e multipli di 3 fino a 10, ℕ insieme dei numeri naturali, P numeri naturali pari, T numeri naturali multipli di 3, P e T sottoinsiemi di ℕ
    A={ x ∈ ℕ | x ∈ P | x ≤ 10 } = {2,4,6,8,10}
    B={ x ∈ ℕ | x ∈ T | x ≤ 10 } = {3,6,9}
    A∪B={2,3,4,6,8,9,10}
    L'unione comprende tutti gli elementi presenti in A o in B o in entrambi








Unione e insieme vuoto

- L'unione di un qualsiasi insieme con l'insieme vuoto -->> con l'insieme stesso.

Unione con un insieme universo

- L'unione di un insieme con un suo qualsiasi insieme universo coincide con l'insieme universo, -->> A ⊆ E, allora A U E = E = E U A

Unione di un insieme con se stesso

- L'unione di un qualsiasi insieme con se stesso è l'insieme -->>, per qualsiasi insieme A ⊆ E risulta che A U A = A

Proprietà commutativa dell'unione

- L'unione tra insiemi è un'operazione insiemistica -->>, ossia non ha importanza l'ordine con cui si scrivono gli elementi dell'unione, dati A,B ⊆ E risulta che A U B = B U A

Insieme unione e sottoinsiemi dell'unione

- L'unione di due insiemi qualsiasi contiene entrambi gli insiemi, dati A,B ⊆ E, abbiamo che A ⊆ A U B ; B ⊆ A U B

Proprietà associativa dell'unione

- L'unione è un'operazione -->>, dati A,B,C ⊆ E, vale la seguente proprietà A U (B U C) = A U B U C = (A U B) U C

Proprietà distributiva dell'unione rispetto all'intersezione

L'unione è un'operazione insiemistica -->> rispetto all'intersezione, nel senso che se prendiamo tre insiemi A,B,C ⊆ E, allora risulta che A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C)

Unione e complementare

- Il complementare dell'unione di due insiemi coincide con l'intersezione dei due complementari
- Tale proprietà, nota anche come seconda -->> di De Morgan, stabilisce che dati A,B ⊆ E risulta che (A U B)^(C) = A^C ∩ B^C
10 2 8 4 6 A U 1 3 5 B = B U A P insieme dei numeri naturali pari D insieme dei numeri naturali dispari A = { x ∈ ℕ | x ∈ P | x ≤ 10 } = { 2,4,6,8,10 } B = { x ∈ ℕ | x ∈ D | x ≤ 5 } = { 1,3,5 } A U B comprende tutti gli elementi di A e di B o di entrambi
A U 1 2 3 B = B = B U A A = { x ∈ ℕ | x < 0 } = Ø B = { x ∈ ℕ | x ≤ 3 } = { 1,2,3 }
A A U E E E insieme universo, note musicali A ∈ E, note che iniziano con la 's' A U E = E = E U A si sol mi re do fa la
1 3 5 B U 1 3 5 B = B D insieme dei numeri naturali dispari B = { x ∈ ℕ | x ∈ D | x ≤ 5 } = { 1,3,5 } B U B = B
1 2 3 B = B U A 4 5 6 A U A = { x ∈ ℕ | x > 3 | x < 7 } = { 4,5,6 } B = { x ∈ ℕ | x ≤ 3 } = { 1,2,3 } B 1 2 3 A = A U B 4 5 6 U A ⊆ A U B B ⊆ A U B
A U B U C A U (B U C) = A U B U C = (A U B) U C
A = { x ∈ ℕ | x > 3 | x < 7 } = { 4,5,6 } B = { x ∈ ℕ | x > 6 | x < 10 } = { 7,8,9 } C = { x ∈ ℕ | x > 8 | x < 12 } = { 9,10,11 } A U ( 6 4 5 B 7 9 8 C ) 11 9 10 A U C 11 9 10 6 4 5 A U B 7 9 8 6 4 5 A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C)
E = { x ∈ ℕ | x ≤ 5 } = { 1,2,3,4,5 } A = { x ∈ ℕ | x ∈ E | x > 3 } = { 4,5 } B = { x ∈ ℕ | x ∈ E | x ≤ 2 } = { 1,2 } 1 2 3 B ) ^C = { 3 } 4 5 3 A ( U A ^C 4 5 3 B ^C = { 3 } 1 2 3