- I
poliedri sono figure solide
delimitate da un numero finito di facce poligonali, che
-->> su piani distinti e tali da avere ogni
lato in comune con una sola altra faccia, ossia sono solidi la cui superficie è formata da poligoni.
- Una prima classificazione dei poliedri riguarda la proprietà di
convessità
- Un poliedro è convesso se, per ogni
-->>, il piano che la contiene divide lo spazio in due parti e il poliedro è
interamente contenuto in uno dei
due semispazi
- Oppure comunque si considerino due punti
-->> al poliedro,
il segmento che congiunge tali punti è interamente contenuto nel poliedro
- Ancora, diciamo che un poliedro è convesso se il
-->> che unisce due vertici qualsiasi
giace sulla superficie del solido o si trova al suo interno
- la classificazione principale a cui si fa riferimento suddivide i poliedri in
regolari e irregolari
- per essere
-->>, (o platonico) un poliedro deve avere
poligoni regolari uguali tra loro come facce
- in Geometria esistono solamente 5 tipi di poliedri platonici, e rientrano nel gruppo dei poliedri convessi
nome | n. facce | faccia | volume | area totale | area laterale |
Tetraedro | -->> | Triangolo eq. | V = ( √2/12 ) * L³ | Stot = √3 * L² | Slat=[( 3*√3 )/4] * L² |
Cubo (esaedro) | -->> | Quadrato | V = L³ | Stot = 6*L² | Slat = 4*L² |
Ottaedro | -->> | Triangolo eq. | V = ( √2/3 ) * L³ | Stot = ( 2*√3 ) * L² | |
Dodecaedro | -->> | Pentagono reg. | V = [( 15+7*√3 )/4] * L³ | Stot = 3 * √(5+10*√5) * L² | |
Icosaedro | -->> | Triangolo eq. | V = [( 5+3*√5 )/12] * L³ | Stot = ( 5*√3 ) * L² | |
- Consideriamo tre particolari famiglie di poliedri
Prisma Per definizione un
-->> ha due poligoni paralleli e uguali che prendono il nome di basi, e presentano dei
parallelogrammi come facce laterali.
- Nell'insieme dei prismi rientra ad esempio il parallelepipedo. Tra i prismi possono esserci sia poliedri regolari (l'unico caso è rappresentato dal cubo),
sia poliedri irregolari.
Piramide Una piramide ha un
-->> di base e un vertice che non appartiene al piano della base, e presenta dei triangoli come facce laterali.
- Tra le piramidi l'unico caso di poliedro regolare è dato dal tetraedro regolare, mentre qualsiasi altro tipo di piramide è un poliedro irregolare.
Tronco di piramide Un tronco di piramide è un poliedro che si ottiene
-->> una piramide con un piano parallelo alla base.
Proprietà dei poliedri
-
diagonale: si dice
-->> di un poliedro qualsiasi segmento che congiunge due vertici non consecutivi.
- le diagonali di un poliedro si distinguono tra diagonali interne, ossia tali da congiungere due vertici non appartenenti alla stessa faccia,
e diagonali di superficie, ossia tali da congiungere due vertici non consecutivi della stessa faccia.
- Tutti i poliedri presentano un'unica caratteristica comune, essi soddisfano la formula di Eulero, che mette in relazione
il numero di facce F, di vertici V e di
-->> S che un poliedro può avere.
F + V = S + 2
- Vi è poi un'ulteriore formula che consente di calcolare il numero di diagonali di un poliedro qualsiasi: detto N il numero di diagonali:
N = V( V - 1 )/2 - S